Будущий олимпийский чемпион родился в небольшой деревне Никиткино в Егорьевском районе Московской области. Однако юность Евгения прошла уже в главном городе СССР — в возрасте 7 лет мальчик вместе с родителями переехал в Москву. Первое время им оставалось только мечтать о своем жилье: отец Мишакова трудился проходчиком, поэтому семье из четырех человек приходилось ютиться в бараке для метростроевцев. Тем не менее, тяготы жизни маленький Евгений совершенно не замечал — большую часть детства он провел во дворе, играя в футбол или хоккей с другими ребятами на близлежащей коробке. Из-за отсутствия денег, юным спортсменам приходилось импровизировать — вместо футбольных мячей они использовали тряпичные, а аналогом шайбы для них выступали консервные банки.
Предрасположенность к игровым видам спорта у Мишакова проявлялась еще в детстве — в своей компании он всегда был лидером и лучшим игроком как в футбол, так и в хоккей. Помимо игрового мышления Евгений обладал и физическими данными, что позволяло ему не теряться в играх даже со взрослыми ребятами. Старший брат будущего лидера ЦСКА первым заметил в нем задатки чемпиона и отвел его на стадион «Химик», где Мишаков провел следующие несколько лет спортивной жизни.
Вскоре жизнь нашего героя серьезно изменилась: бараки метростроевцев были снесены, поэтому семье пришлось искать другое жилье. Мишаковы переехали из уже ставшего родным района, а Евгений к тому моменту уже получил первое образование — он отучился 7 лет в ремесленном училище и работал автослесарем четвертого разряда. А его страсть к спорту с годами стала лишь сильнее: в свободное время юноша по-прежнему играл в футбол и хоккей во дворе. Именно во время ожесточенных баталий он и познакомился с человеком, который впоследствии стал его лучшим другом на все времена — Борисом Михайловым. Много лет они прожили в одном дворе на 1-й и 2-й Хорошевской улице, и играли за одну дворовую команду, в которой Мишаков был признанным лидером.
Первым профессиональным клубом в карьере прославленного форварда стал московский «Локомотив». В стан железнодорожников Евгений попал благодаря помощи живущего по соседству двукратного чемпиона мира Юрия Волкова, отыгравшего за «Локо» 4 сезона. Причем Мишакова хотели видеть в своем составе как футбольная, так и хоккейная команда «Локомотива». Но форвард сделал выбор в пользу более близкого ему по характеру хоккея.
Надолго в новом клубе фактурный нападающий не задержался. Повестка из военкомата стала для него предвестником скорого перехода в ЦСКА. В главную команду страны Евгений попал транзитом через команду Калинина, которая представляла Московский военный округ. На чемпионате Вооруженных сил Мишаков очень понравился главному тренеру армейцев, великому Анатолию Тарасову. Наставник ЦСКА и по совместительству сборной СССР распорядился доставить талантливого форварда к нему. Игрок и тренер сразу же нашли общий язык, и всего за несколько лет новичку армейского клуба удалось сделать то, что не удавалось практически никому — стать любимчиком Тарасова.
«Женю часто называли любимым игроком Тарасова. Но от таких великих тренеров похвалу нужно было еще заслужить. Для Мишакова не существовало на льду преград, никогда он никого не боялся. Это хоккей его боялся. Для него безумно важны были честь клуба, флага, свитера сборной. Но об этом он никогда не говорил, а свою преданность показывал на площадке. Он был одним из самых мужественных хоккеистов. На чемпионате мира 1969 года в Швеции играл с выбитой кистью. Нос ему ломали несчетное количество раз. Смелостью отличался не только на площадке. Был очень принципиальным, его невозможно было сбить с толку или навязать какое-то чуждое мнение», — рассказывал Борис Михайлов.
Сам Мишаков называл Тарасова «родным отцом», а тот в ответ доверял ему в абсолютно любых ситуациях. Для Анатолия Владимировича порядочность и преданность вне льда были гораздо ценнее хоккейных талантов, поэтому за счет лидерских и человеческих качеств наш герой выгодно отличался на фоне своих партнеров. Безусловное доверие Тарасова к форварду ярко проиллюстрировано в одной ситуации: когда воспитанник казахстанского «Торпедо» Борис Александров только пришел в ЦСКА, то отказывался выполнять обязательный для всех молодых игроков ритуал — собирать шайбы после тренировок и таскать станок для точки коньков в поездках. Тогда Евгений на правах лидера команды провел с новичком воспитательную «беседу». Завидевший потасовку Тарасов принялся выяснять причину, но Мишаков ответил кратко: «За дело». Анатолий Владимирович, прекрасно знавший своего подопечного, который не стал бы распускать руки безо всякой причины, ответил лишь: «Если за дело, то можно», и пошел в тренерскую.
Характер и лидерские качества Евгения ярко проявлялись в том числе и на льду. В ЦСКА он преимущественно играл в тройке с Моисеевым и Ионовым, и именно это сочетание тренерский штаб армейцев выпускал на площадку в критических ситуациях. Если нужно было сравнять счет, или напротив, удержать победную разницу и сыграть на ноль, Тарасов не сомневался — эти парни его не подведут. Учитывая количество звезд в составе армейцев, такое безусловное доверие дорогого стоило.
Помимо ярковыраженных лидерских качеств Мишаков обладал и прекрасными бойцовскими навыками. Некоторые болельщики со стажем рассказывали, что именно Евгений был первым советским тафгаем и мог без труда постоять за своих одноклубников. Даже один из самых мощных игроков советского первенства Александр Рагулин признавал, что на площадке он откровенно побаивался нашего героя.
«Иногда Тарасов даже просил усмирить кого-нибудь из соперников, особенно распоясавшегося. На площадке да и в жизни я никого не боялся. Такой уж у меня характер», — подтверждал форвард.
В ЦСКА Мишаков провел 12 прекрасных сезонов и выиграл за это время абсолютно все. Он покинул великий клуб в 1974 году в звании подполковника и статусе двукратного олимпийского чемпиона, четырехкратного чемпиона мира, восьмикратного чемпиона СССР и четырехкратного обладателя Кубка СССР.